意味深长的问题倒不一定难

上篇回顾：柯达公司申请破产——去年的奥斯卡奖，我去了现场，在红地毯上走了一圈。让我很伤感的是，那么多年以来在那儿颁奖的、美丽的柯达剧院改名了，叫“好莱坞高地中心”（HollywoodandHighlandCenter）。因为那个剧院就在两条街的交叉口，一条街叫作好莱坞大道，一条街叫作高地街（Highlan

意味深长的问题倒不一定难 我家住在19楼，相当高，电梯又经常出故障，幸好我脚力很好，可以一口气走上走下，并不感到吃力。从此以后，19这个数字就同我结下了不解之缘。


下面就来说一个由于我住在19楼而特别对19这个数字“刮目相看”的趣题。


在图中所示的方框里分别填入从2到19的18个自然数，既不能重复，也不准遗漏，要求任何两个相邻数字之和均为平方数。


凡是初次接触到本题的人都不免倒吸一口冷气，即使不公开表态，心里也不免发憷，认为题目的要求未免太高了，恐怕很难做出来。


解题者信心不足，有打退堂鼓的意思，这也在情理之中，并不奇怪。


近年来，解题方法的研究蔚然成风，这是一个很好的开始。拿本题来说，找到最小的自然数2，自然可以将它作为一个着力点。由于2+7=9，2+14=16，而9与16又都是平方数，因而可以建立起一个初步的关系链：


下一步是顺藤摸瓜，对于最左端的7来说，可以同它连接的数只可能有两个，即9和18（7+9=16，7+18=25，16和25都是平方数），从而得出了这个扩充之后的关系链：


另外，还容易看出，在9的左端，尚可添加一个符合条件的自然数16（9+16=25），此时，关系链进一步扩充为这样的形状：


但此时，左面已经发展到了山穷水尽的地步，我们只好转变方针，到右面去继续作战。


真是天公作美，右方战线的发展竟是出乎意料地顺利，远非始料所及。一步一个脚印，很快就形成了一条满足题目要求的长链：


“船到桥头自然直”，题目基本上做完了。由于“一字长蛇阵”的形状比较难看，数学史上有过一个很著名的“哥尼斯堡七桥”问题，经过瑞士大数学家欧拉的研究，通过拓扑变换之后，可以变成“一笔画”问题来研究。在这里，我们也可以采用“拓扑变换”的手段，将它改造成以下的图形：


此题覆盖了从2到19的所有18个自然数，不重不漏，一网打尽，可是涉及的平方数搞来搞去却只有4个：9、16、25、36，而且头尾两个数用得也不多，翻来覆去，大显身手的只有16和25，难怪此题解出之后，许多人都夸它意味深长，无法复制。
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